MODÈLE D'évaluation des options de BLACK & SCHOLES

MODÈLE D'évaluation des options de BLACK & SCHOLES

C'est au génie de trois célèbres mathématiciens que le marché des dérivés doit son succès, grâce à l'équation de Black & Scholes conçue dans les années 1970 (et publiée en 1973) qui permet de déterminer théoriquement la prime exacte que doit payer un client pour acquérir un Call ou un Put et la stratégie que devra suivre le vendeur de ces options pour se couvrir du risque (pour ne citer que l'exemple le plus connu). Evidemment ce modèle ne fonctionne que si les périodes temporelles considérées sont relativement courtes (de l'ordre de la semaine ou de quelques mois aux mieux). Au delà l'utilisation de ce modèle théorique particulier est une farce!

Black, Scholes et Merton sont les ancêtres d'une génération de produits dérivés sophistiqués, donnant droit de cité à tout un lexique de termes aussi exotiques que Butterflies, Rainbows, Knock-in, Knock-out, Barrières, Swaps, Calls, Puts, Baskets, Swings. Ce modèle est aussi considéré ceci dit comme un des facteurs principaux du crasch boursier de 1987 par certains spécialistes...

Ce que nous aimerions dans ce qui va suivre, est de déterminer la valeur théorique de la prime d'une option à partir des cinq données suivantes :

1. La valeur actuelle de l'actif financier sous-jacent de l'option (déterminée par la spéculation du marché).

2. Le temps qui reste à l'option avant son échéance (choisie par la société émettrice).

3. Le prix d'exercice (strike) fixé par l'émetteur subjectivement ou après modélisation.

4. Le taux d'intérêt sans risque (supposé comme étant le taux de rendement attendu du sous-jacent).

5. La volatilité (écart-type) du prix du sous-jacent de l'option (mesurée sur le marché).

La prime l'option ainsi déterminé sera unique et équitable pour les deux parties. Effectivement, le système des options permettrait de faire payer un prix d'option (prime) majoré par rapport au comportement aux prévisions du marché et donc de générer à coup sûr et à partir de rien un profit mais les nombreux acteurs du marché vont faire jouer la concurrence pour être au plus juste et attirer le client sur leurs options plutôt que sur celles de la concurrence.

La modélisation du cours des options (Black & Scholes) repose sur l'utilisation du calcul différentiel stochastique. Ainsi, l'approche de Black et Scholes suppose que l'évolution du cours de l'action définit un mouvement brownien géométrique (dans le sens que les mouvements possibles du prix tendent vers l'infini) et que son rendement définit un processus de Wiener généralisé (concept que nous allons définir un peu plus loin).

ÉQUATION DE PARITÉ CALL-PUT

Avant de nous attaquer a des calculs stochastiques un peu ardus il est utile d'établir au préalable une équation dite de "parité Call-Put" qui nous servira de sorte d'équation de conservation pour vérifier la validité des résultats que nous établirons par la suite sur l'évaluation des prix des options.

L'objectif va être de répondre à la question suivante :

Quelle somme M devons nous payer maintenant pour recevoir une somme garantie E appelée "prix d'exercice" (ou "strike price") à un temps futur T ?

Ainsi, nous avons vu lors de notre étude du calcul d'intérêts qu'en considérant un capital C et un intérêt r constant nous avions trivialement :

   (246)

Dès lors, en posant  et  nous avons :

   (247)

d'où :

   (248)

Mais cette relation n'est pas tout à fait juste. Effectivement, nous devons avoir M = E assuré au temps T - t . Dès lors nous somme naturellement amenés à poser :

   (249)

Nous allons maintenant supposer que le Call et le Put possèdent les caractéristiques suivantes :

1. Même support qui vaut S à l'instant t.

2. Même échéance T

3. Même prix d'exercice E

Dès lors, étant donnée C le prix d'un Call et P le prix d'un Put à même échéance T et à même valeur et S un titre, nous avons alors pour la valeur du portefeuille :

   (250)

Cette relation ainsi que les précédentes supposent les hypothèses suivantes :

1. Il n'existe pas de coûts de transaction

2. Le support n'est pas un instrument à terme (i.e. payable ou livrable immédiatement)

3. Le support spot ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l'option ( i.e. entre [0;T] ).

4. Les options sont européennes

En nous posant maintenant la question :

Quelle somme devons nous payer maintenant pour un portefeuille afin de recevoir une somme garantie E (prix d'exercice) à un temps futur T ?

Le portefeuille pouvant être considérée comme une boîte noire, rien ne nous empêche dès lors d'écrire :

   (251)

qui n'est rien d'autre que "l'équation de parité Call-Put".

Cette relation montre que la valeur d'un call européen avec prix d'exercice E et maturité T peut être déduite de celle d'un put européen avec le même prix d'exercice E et la même maturité T.

HypothÈsE efficiente du marchÉ

Le modèle de Black & Scholes se base sur le postulat que le marché est "efficient". 

Définition: Un "marché efficient" (efficient market hypothesis en anglais... - abrégée E.M.H) est un marché où les prix reflètent complètement toute l'information disponible. Ainsi, si le marché est efficient, il n'est pas possible de faire des profits anormaux.

Nous pouvons distinguer trois types de marchés efficients qui sont fonction du type d'information disponible:

1. L'hypothèse de marché efficient en "forme faible" qui explicite que les prix reflètent toute l'information contenue dans la série historique des prix

2. L'hypothèse de marché efficient en "forme semi-forte" établit que les prix reflètent toute l'information publique disponible.

3. L'hypothèse de marché efficient en "forme forte" qui établit que toute l'information connue, publique et privée, est reflétée dans les prix du marché.

Plusieurs études ont essayé de tester l'hypothèse de l'efficience des marchés des actifs. Pour tester la forme faible de l'hypothèse, on a utilisé l'analyse des séries temporelles (voir plus loin) en testant spécifiquement l'hypothèse d'une marche au hasard (mouvement brownien - nous y reviendrons). Plus spécifiquement ces tests ont essayé de tester si les accroissements des prix sont indépendants des accroissements passés. Si l'hypothèse d'une marche au hasard est rejetée, alors le marché n'est pas efficient, car les accroissements de prix passés pourraient aider à anticiper les prix futur des actifs. L'évidence empirique soutient l'hypothèse de marché efficient en forme faible. Pour tester la forme semi-forte de l'hypothèse, on a évalué la vitesse d'ajustement des prix de marché à l'arrivée de nouvelle information; l'évidence en faveur d'un rapide ajustement des prix de marché est dominante. La forme forte de l'hypothèse de l'efficience des marchés, consiste à tester s'il est possible de profiter sur la base d'information privilégiée (information accessible à un petit groupe des agents économiques). Etant donné qu'on ne peut pas identifier l'information non publique, un type de test de forme forte considère l'examen de la performance d'investissement des individus ou groupes qui pourraient avoir de l'information privée. Elton et Gruber (1984) signalent que l'analyse de la performance des fonds mutuels, après déduction des coûts, soutient la forme forte de l'efficience.

Ceci implique les hypothèses suivantes (pour résumer en gros) :

H1. L'histoire passée du cours de l'option est complétement réfléchie dans le prix présent qui ne contient lui pas d'autres informations sur l'option

H2. Le marché réponde immédiatement à toute nouvelle information sur le prix d'une option.

Le paradoxe du postulat des marchés efficients tient à ce que si chaque investisseur pensait vraiment que le marché était parfaitement efficient, alors personne n'étudierait les sociétés, leurs bilans, etc. Il suffirait d'acheter de l'indice. En vérité, les marchés efficient dépendent d'individus actifs sur le marché parce qu'ils pensent que ce marché est "inefficient" et qu'ils peuvent faire mieux que le marché !

Ce postulat est source de beaucoup de débats dans le domaine...

Remarque: Avec les deux hypothèses précédement énononcées, tout changement non-anticipé dans le prix de l'option est appelé un "processus de Markov". 

Rappel : Un processus de Markov est un processus dont l'évolution future  ne dépend de son passé qu'à travers son état à l'instant. Or, le cours d'une action n'est vraisemblablement pas un processus de Markov (la "mémoire" du processus est probablement plus longue - par exemple une tendance saisonnière).

PROCESSUS DE WIENER

Soit  la variation de la valeur d'une option (ou autre actif financier volatile) sur un petit intervalle de temps noté .

Nous posons que (dans le sens que la variation de l'option est similaire à la variation de la valeur du sous-jacent!):

   (252)

et avec à l'aide de la connaissance des deux résultats majeurs du modèle de Bachelier vu plus haut nous avons donc pour les variations de la valeur de l'option une espérance positive dépendante de manière proportionnelle à la racine carrée du temps selon:

  (253)

où nous posons comme hypothèse (acceptable... car nous travaillons sur de petites variations pour rappel!) que le coefficient d'instabilité est une fonction:

   (254)

où rappelons-le, N(0,1) est la notation de la loi Normale centrée réduite telle que nous l'avons établie dans le chapitre de Statistiques.

Remarque: Souvent dans le domaine de l'économie, nous notons WN au lieu de N en hommage à Wiener.

Ceci dit, la relation antéprécédente est souvent notée de manière généralisée:

   (255)

et définie comme étant un "mouvement brownien standard" avec "bruit blanc" (loi marginale de type Normale), ou "mouvement brownien arithémtique", où le W est là par hommage à Wiener! Il est intéressant de remarquer que le mouvement brownien est supposé indéfiniment divisible (ce qui signifie que la période temporelle prise n'influe pas sur la loi de probabilité qui reste toujours la même... c'est une propriété fractale du mouvement brownien qui a été creusée par Mandelbrot aussi!).

Il est possible de produire un graphique de ce mouvement brownien dans MS Excel avec dans la colonne A le temps avec un pas  typique de 0.01 [s] et dans la cellule B2 la formule suivante:

=B1+NORMSINV(RAND())*SQRT(0.01)

où B1 contient la valeur 0.

Nous obtenons alors pour 4 colonnes du même type les variations de valeurs suivantes:

  (256)

Les mouvements browniens standards ont certaines propriétés remarquables comme nous pouvons le voir: la trajectoire à tendance à alterner au-dessus et en dessous de l'axe des abscisses. Cela provient de ce que la loi Normale considérée est d'espérance nulle, autrement dit qu'il n'y pas de tendance générale à la hausse ou à la baisse des variations (pour le vérifier faites au moins 30'000 points dans MS Excel et vous verrez....).

Il est facilement possible de caractériser  à l'aide de son espérance :

   (257)

effectivement, rappelons que pour la loi Normale centrée réduite nous avons :

   (258)

donc nous pouvions nous attendre à ce résultat d'absence totale de tendance générale (c'était quasi-intuitif!).

Nous pouvons également caractériser  à l'aide de sa variance :

   (259)

d'où :

   (260)

effectivement, rappelons que pour la loi Normale centrée réduite nous avons :

  (261)

Finalement (au fait ce résultat découle de manière immédiate de la propriété de linéarité de la loi Normale):

   (262)

Donc pour résumer un peu les choses...

1. Nous savions avec le modèle de Bachelier que l'espérance positive et l'écart-type positif de la valeur sont proportionnelles à la racine carrée du temps. Nous avons utilisé ces deux résultats ici.

2. Nous savons maintenant (sous l'hypothèse bien précise d'une coefficient de type Normal) que les variations ont un espérance (tendance) nulle et un écart-type proportionnel à racine carrée de la variation temporelle

La propriété qui vient d'être établie reste valable pour un grand intervalle de temps noté T correspondant àn petits intervalles !!! En d'autres termes :

   (263)

Dans ce contexte, il convient de remplacer  par:

   (264)

Or :

   (265)

Comme dans l'hypothèse d'une évolution du cours sur un petit intervalle de temps, il est possible de caractériser  à l'aide de son espérance et de son écart type :

   (266)

ce qui est logique...

Nous retrouvons alors, pour un grand intervalle de temps T :

   (267)

que nous pouvons aussi écrire sous la forme suivant en utilisant les propriétés de la loi Normale:

   (268)

résultat auquel nous pouvions raisonnablement nous attendre avec les hypothèses susmentionnées...

Ce dernier résultat est écrit sous la forme explicite suivante dans les tableurs:

   (269)

et nous voyons que c'est peu réaliste car cela signifierait que tout actif financier suit la même loi (quelque soit sa volatilité....) et n'aurait aucune tendance générale à la baisse ou à la hausse. Nous verrons de suite comment améliorer cette approche.

Pour clore cette approche, remarquons que si  tend vers 0 (ce qui revient à considérer une subdivision du temps T en intervalles extrêmement petits)  le cours subit sur la période T un nombre infiniment grand de variations. En d'autres termes, le processue d'évolution du cours de l'option est continu, ce qui conduit à remplacer  par dt,  par dx et  par dz.

Dans ce cas, nous obtenons :

   (270)

ce qui définit un "processus de Wiener" (nous reviendrons là-dessus lorsque nous aurons établi l'équation différentielle stochastique).

Mais évidemment ceci n'est pas vraiment conforme à la réalité comme nous l'avons déjà mentionné... Nous préférons alors ajouter un décalage constant dans le temps ce qui donne le mouvement brownien que nous allons voir maintenant.

MOUVEMENT BROWNIEN généralisé

Dans ce cas (généralisation un peu plus réaliste), l'évolution du cours dépend non seulement d'un processus aléatoire brownien standard (deuxième terme ci-dessous à droite de l'égalité), mais également d'un paramètre de tendance centrale, ou "drift" (premier terme ci-dessous à droite de l'égalité):

   (271)

avec toujours :

   (272)  

et :

   (273)

Nous avons donc un mouvement brownien généralisé, constituté d'un mouvement brownien standard (dzreprésenté donc par une loi normale d'espérance nulle et de variance dt comme nous l'avons vu plus haut) et d'un drift. Dans ce scénario, a et b sont imposés comme constants contrairement au cas encore plus général que nous verrons un peu plus loin.

La relation antéprécédente est souvent représentée dans la littérature sous la forme différentielle suivante:

   (274)

Donc graphiquement cela donne, en rajoutant ce drift et en prenant une valeur positive et non nulle pour a, un mouvement brownien qui aura tendance à alterner au-dessus et en dessous du drift:

  (275)

Sur un petit intervalle de temps , le processus, en temps discret s'écrit bien évidemment :

   (276)

Dans ce cas, nous avons :

   (277)

dans la mesure où seule  a une composante aléatoire.

Ainsi :

   (278)

Finalement :

   (279)

En subdivisant une période T en n intervalles de temps  (soit ), la variation du cours devient sur cette période T :

   (280)

Dès lors :

   (281)

Finalement :

   (282)

Soit:

   (283)

ou encore :

   (284)

Il est alors aisé de comprendre pourquoi nous disons que la loi de Gauss régit la variable aléatoire obtenue en arrêtant un processus brownien à un instant donné: c'est une photo instantanée du mouvement brownien simple ou généralisé!