EMPRUNTS

Les individus et les entreprises recourent souvent à l'emprunt (crédit) comme moyen financier. Nous allons ici définir les principaux type d'emprunts rencontrés dans la pratique ainsi que les relations qui les caractérisent.

Définition: Nous appelons "emprunts indivis", un emprunt comportant qu'une seul prêteur, en général, un établissement financier.

Les principaux points concernant les emprunts sont :

- Connaître l'état de la dette à tout moment

- Connaître le montant à rembourser à chaque période

- Connaître l'intérêt dû à chaque période

Définition: Nous appelons "annuités", les paiements effectués dans le cadre des emprunt. Une annuité comprend une part de remboursementR appelée aussi "amortissement financier" et une part d'intérêt I selon la relation :

La décomposition de l'annuité en amortissement et intérêts est une notion importante non seulement en finance mais aussi en comptabilité. En effet, la part d'amortissement financier correspond à un remboursement de dette à la différence de l'intérêt qui est une charge financière.

Nous allons étudier ici trois types d'emprunts :

1. Les emprunts remboursables à échéance fixe

2. Les emprunts à remboursement constant

3. Les emprunts à annuité constante (les plus pratiqués)

Remarques:

R1. Nous considérons ici des emprunts périodiques. Le passage d'une période temporelle à une autre et le calcul d'un taux équivalent se fera selon les relations déjà démontrées plus haut.

R2. Des annuités mensuelles constantes sont appelées des "mensualités".

EMPRUNT À ÉCHÉANCE FIXE

Définition: Nous parlons d'un "emprunt à échéance fixe" lorsque chaque année, l'annuité comprend uniquement la part d'intérêt ! La dernière année, l'annuité comprend l'intérêt ainsi que la totalité (!) du remboursement de l'emprunt.

Remarque: Ce modèle d'amortissement est particulièrement utilisé dans les emprunts obligatoires, étudiés plus loin.

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du "tableau d'amortissement".

Ainsi, l'état de la dette (capital emprunté) C en début d'année k est :

   (169)

Le remboursement (amortissement)  effectué en fin d'année k est égal à l'amortissement cumulé  en fin d'année k et celui-ci n'a lieu qu'à la dernière année n tel que :

   (170)

l'intérêt payé  sera constant tout au long de l'époque de remboursement selon un taux  sur le capital d'emprunt  tel que :

   (171)

L'annuité devient alors :

   (172)

Exemple:

Voyons le tableau d'amortissement d'un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé à l'échéance au bout de 4 ans. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Période	Etat de la dette	Amort.	Amort. Cumulé	Intérêt	Annuité
k
1	1'000	0	0	100	100
2	1'000	0	0	100	100
3	1'000	0	0	100	100
4	1'000	1'000	1'000	100	1'100

Tableau: 5  - Emprunt avec amortissement à échéance fixe

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 400.-.

EMPRUNT A AMORTISSEMENT CONSTANT

Définition: Nous parlons d'un "emprunt à amortissement constant", lorsque montant annuel remboursé est constant, c'est-à-dire identique d'années en années (système intuitif).

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du tableau d'amortissement :

   (173)

Exemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par amortissement constant en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Période	Etat de la dette	Amort.	Amort. Cumulé	Intérêt	Annuité
k
1	1'000	250	250	100	350
2	750	250	500	75	325
3	500	250	750	50	300
4	250	250	1'000	25	275

Tableau: 6  - Emprunt avec amortissement constant

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 250.-. Donc on paie mois qu'avec le système précédent.

EMPRUNTS A ANNUITÉ CONSTANTE

C'est la cas le plus fréquent (la définition est dans le titre même). Il est utilisé par la plupart des instituts de petit crédit et de leasing. L'emprunteur connaît d'avance la somme qu'il aura à payer d'années en années. En d'autres termes, c'est comme s'il s'agissait d'un capital C que l'on doit solder en faisant à chaque période un retrait constant A : ce qui consiste à déterminer la valeur actuelle d'un rente postnumerando tel que :

   (174)

Les relations suivantes permettent alors d'établir n'importe quel élément du tableau d'amortissement :

   (175)

et puisque , alors :

   (176)

dès lors, lorsque , nous avons conformément à ce que nous attendons .

Et donc l'amortissement est de :

   (177)

L'amortissement cumulé est un peu moins évident à trouver avec le bon sens, prenons pour démonstration un amortissement A avec taux t% sur n périodes. Nous avons par définition :

   (178)

avec k=2 et n=3 :

   (179)

d'où :

  (180)

Ainsi, nous avons :

   (181)

et aussi :

   (182)

Exemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par annuité constante en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera :

Période	Etat de la dette	Amort.	Amort. Cumulé	Intérêt	Annuité
k
1	1'000	215	215	100	315
2	785	237	452	78	315
3	548	261	713	55	315
4	287	287	1'000	29	315

Tableau: 7  - Emprunt avec annuité constante

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 262.-. Ce résultat pourrait s'obtenir par : .