Capitalisation et actuariat

Définition: La "capitalisation" est le domaines de la mathématique financière qui permet de calculer des valeurs futures à partir de valeurs présentes, alors que le "calcul actuariel" permet de déterminer quelle somme doit être prêtée pour obtenir un montant fixé à l'avance.

Dans un dynamique de marché, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital en contrepartie de quoi ils percoivent ou respectivement versent un intérêt périodique. Cet intérêt se justifie par la prise de risque que prend le créditeur (celui qui prête le capital) relativement au non-remboursement de la totalité ou d'une part du capital intial que doit rembourser le débiteur (celui qui doit rembourser le capital emprunter). D'une autre manière, vue au niveau du marché économique, les emprunts permettent à certains agents économiques de mettre en place des biens en pariant sur le fait que soit ceux-ci créeront l'offre soit que l'offre viendra d'elle-même mais en souhaitant devancer la concurrence.

Lorsque un capital est prêté (ou emprunté, c'est selon le point de vue...) dans le but d'accroître une dynamique de marché (la quantité de circulation de biens sur une durée donnée) nous parlons alors "d'actif financier", ceci pour faire comprendre que le capital participe à l'activitié de l'économie.

Définitions:

D1. Nous appelons "rendement d'un actif financier prêté" le rapport de progression donné par:

   (100)

D2. Nous appelons "rendement arithmétique d'un investissement" la relation:

où  est la valeur initiale de l'investissement et  sa valeur finale.

Il suit de cette dernière définition que si un investissement a rapporté 5% la première année et a porté une perte nette de 2% la deuxième année. Le "RSI (Retour Sur Investissement) arithmétique moyen" est alors de:

Or il est faux d'utiliser la moyenne arithmétique pour ce type de situations car la somme finale obtenue après les deux années est mathématiquement de:

ce qui donne alors en reprenant l'exemple précédent:

Donc le rendement moyen réel est par définition le "RSI géométrique" tel que:

c'est-à-dire qu'il s'agit simplement d'une moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques). Il vient alors:

ce qui est bien évidemment nettement différent du RSI arithmétique moyen obtenu plus haut!

Remarque: Nous disons d'un actif qu'il a un "rendement sans risques" si la valeur future de celui-ci est parfaitement connue.

Soit un actif  qui peut valoir le rendement (optimiste) futur  avec une probabilité et la valeur (pessimiste)  avec une probabilité  ou d'autres valeurs  avec la probabilité  alors l'espérance mathématique du rendement est donnée par:

   (101)

Que la somme monétaire soit du type actif où non, les types de rendements applicables sont identiques et variés. Il en existe cependant de grands classique qui ne sont pas stochastiques et connus. Pour leur étude, définissons certaines variables :

-  représente le capital initial ou plus techniquement la "valeur actuelle" (V.A.) ou "present value" (P.V.) en anglais

-  représente le capital final ou "valeur capitalisée" (V.C.) ou "futur value" (F.V.) en anglais après n périodes temporelles.

-  représente le taux appelé plus techniquement "taux effectif"

-  représente "l'intérêt" produit au bout n de périodes (horizon) sur la valeur actuelle

Rajoutons encore comme complément la relation :

   (102)

appelée "facteur de capitalisation".

Définition: Nous définissons "l'intérêt" comme la rémunération d'un capital (somme d'argent) prêté ou investi pendant un certain temps. L'intérêt peut être payé en une fois ou périodiquement si la durée du prêt ou de l'investissement dure longtemps. L'intérêt peut être payable d'avance (praenumerando) ou à la fin de la période (postnumérando). L'intérêt est fonction de la durée du prêt (ou investissement), du capital emprunté (ou prêté) ainsi que du "taux" d'intérêt pratiqué. La période sur laquelle l'intérêt porte est en général l'année, mais elle peut être plus courte : semestre, trimestre mois ou jour.

Remarque: Dans un texte, l'intérêt est exprimé normalement en % mais dans les calculs financiers, il d'usage de calculer sous forme décimale.

INTERVALLE DE DATES

Pour déterminer le montant d'un intérêt sur un prêt (ou investissement...), il est d'abord indispensable de connaître la durée de ce dernier ou les dates définissant les périodes de paiement d'une obligation (échéancier).

Le calcul de dates et de durées et donc la première étape en mathématiques actuarielles. Si certains logiciels utilisent dans le calcul de la durée l'année civile (365 jours selon calendrier Grégorien), d'autres se basent sur l'année commerciale (360 jours), ce qui était le cas de la plupart des établissements bancaires (c'est tout à leur avantage financièrement parlant de faire le choix de ce dernier...) avant l'arrivée du calendrier target pour la zone Euro.

Remarques:

R1. Sur les marchés financiers, il existe une seule convention d'intervalle de date pour calculer une durée : le premier jour (date de départ) est inclus dans la période. Le dernier jour (date de fin ou date d'échéance) est exclus de la période. Ainsi une période allant du 15 au 25 juin comporte 10 jours.

R2. Dans le cadre de ce site, qui se veut avoir une approche la plus rigoureuse possible de sujets traités, nous ne nous attarderons pas sur les aberrantes méthodes 30/360 allemande, européenne ou encore américaine (autant faire chaque pays de la planète alors... et se reporter à MS Excel...) pour nous concentrer sur la méthode des 365 jours qui est, et reste, le système le plus naturel de comptage à utiliser puisqu'il tient compte des mois à 28, 29, 30 ou 31 jours.

R3. Signalons qu'en ce qui concerne les carnets d'épargne, les banques se basent sur un système de "quinzaines" (moitié d'un mois), et estiment qu'il y a donc 24 quinzaines par année.

Il nous faut dès lors dans le système de la base exacte connaître comment calculer le nombre de jours entre deux dates  donné par le calcul  à partir la forme normalisée j.m.a (jour.mois.année).

Définitions:

D1. Le calendrier Grégorien a été défini tel qu'il ait 12 mois.

D2. Les mois de :

   (103)

sont des mois à 31 jours et les mois de :

   (104)

à 30 jours.

D3. Le mois de février est un cas particulier permettant de corriger le fait que l'année civile de 365 jours, ne corresponde pas tout à fait à la période orbitale de la Terre autour du Soleil qui est d'environ 365.25... jours. Ainsi, toutes les années qui sont multiples de 4 ou de 400 sont des années bissextiles (le mois de février à 29 jours au lieu de 28) mais les années qui sont divisibles par 100 ne sont pas bissextiles.

Exemples:

E1. 1992,1996,2004,2008 sont bissextiles.

E2. Les années 1900,2100,2200,2300 ne sont par contre pas bissextiles (car divisibles par 100)

E3. Les années 1600, 2000, 2400,2800 sont bissextiles car bien que divisibles par 100, elles sont multiples de 400.

Ces définitions et exemples étant donnés, soit une date sous la forme normalisée donnée précédemment. Le nombre de jours depuis l'an 0 est :

   (105)

où E[x] est la partie entière de x. Cette relation se déduit logiquement de la manière suivante pour les dates où  :

1. Nous avons 365(a-1) car soit a donné, le nombre de jours civils depuis l'an 1 est 365a soustrait d'une unité puisque l'année en cours n'est pas terminée.

2. Même remarque pour les mois avec 31(m-1)

3. Logiquement, nous ajoutons j (qui contient toute l'information quant à savoir si l'année a) est bissextile ou non) à la somme des deux termes précédents

4. Les termes  donnent quant à eux le nombre de 29 février entre l'année 1 et aen prenant en compote les années bissextiles qui ont lieu tous les multiple de 4 et 400 ans exceptés les années qui sont multiples de 100.

Si , nous devons utiliser la relation suivante :

   (106)

Cette relation se déduit toujours de la même manière que la précédent à la différence que certains termes au nominateur ne sont pas soustrait d'une unité car ayant m>2, il faut prendre en compte l'année en cours dans le calcul.

Le dernier terme E(0.42M+2) est ici pour corriger le fait que tous les mois n'ont pas 31 jours. Pour l'obtenir, nous construisons le tableau suivant (la troisième colonne donne le décalage en jours par rapport au cas où les mois auraient tous 31 jours) :

Mois	N° Mois n	Décalage d
mars	3	3
avril	4	4
mai	5	4
juin	6	5
juillet	7	5
aout	8	5
septembre	9	6
octobre	10	6
novembre	11	7
décembre	12	7

Tableau: 3  - Décalage mensuel en jours

Une régression linéaire simple donne :

   (107)

En prenant la valeur entière et en vérifiant bien que la fonction choisie est correcte nous obtenons finalement bien (en prenant un précision de deux décimales) :

E(0.42M+2)

Mois	N° Mois n	Décalage d	d(n)	E(d(n))
mars	3	3	3.26	3
avril	4	4	3.68	4
mai	5	4	4.1	4
juin	6	5	4.52	5
juillet	7	5	4.94	5
aout	8	5	5.36	5
septembre	9	6	5.78	6
octobre	10	6	6.2	6
novembre	11	7	6.62	7
décembre	12	7	7.04	7

Tableau: 4  - Évolution population mondiale (Wikipedia)

ÉQUIVALENCES DE TAUX

Intéressons nous maintenant brièvement au calcul des taux avant de s'attaquer directement aux calculs des différentes et nombreux types d'intérêts.

Définition: Le"taux proportionnel" ou " fait apporter à un même capital, durant la même période, le même "intérêt simple" (voir la définition de l'intérêt simple plus bas) et est donc donné par la relation :

   (108)

Si le taux proportionnel est calculé sur la base d'une année, nous parlons alors de "taux de rendement annualisé", s'il est calculé sur la base d'un mois, nous parlons alors de "taux de rendement mensualisé".

Exemple:

Calculer le taux mensuel  proportionnel (soit: le taux de rendement mensualisé) à un taux annuel t% de 12%:

   (109)

Définition: Le "taux équivalent" fait apporter à un même capital, durant la même période, le même "intérêt composé" (voir la définition de l'intérêt composé plus bas) et est donc donné par la relation :

   (110)

et inversement:

   (111)

Exemple:

Taux t% mensuel équivalent à un taux  annuel de 12% :

   (112)

la procédure inverse consisterait donc à calculer le taux annualisé et nous voyons alors qu'un taux mensuel de 1% annualisé vaudrait plus que 12%.

INTÉRÊT SIMPLE

Définition: "L'intérêt simple" est défini par la relation (voir plus haut pour la définition des notations) :

   (113)

qui implique une capitalisation (valeur finale) :

   (114)

Il s'agit simplement de l'intérêt qui est calculé à chaque période seulement sur la base du capital prêté ou emprunté à l'origine.

Par ailleurs, si plusieurs placements à intérêt simple sont effectués simultanément pour des durées et à des taux différents, nous pouvons être amenés à calculer le taux moyen T de l'ensemble de ces placements.

Si nous notons  le placement numéro t,  le taux d'intérêt du placement numéro t,  la durée du placement numéro t et k le nombre de placement, nous avons la moyenne arithmétique pondérée (cf. chapitre de Statistiques) :

   (115)

ESCOMPTE

Toujours relativement à l'intérêt simple, nous pouvons revenir sur une notion dont nous avions parlé au début de ce chapitre qu'est l'escompte.

Rappelons que l'escompte est une déduction accordée à un acheteur par un vendeur dans le but de l'inciter à payer rapidement avant n unités (périodes) de temps (c'est donc l'intervalle qui importe!). Un acheteur devrait en principe profiter de cet escompte. Dans le cas contraire, c'est comme s'il empruntait implicitement pendant une durée donnée à un intérêt bien plus élevé.

Voyons cela :

Notons la valeur actuelle escompte compris,  le montant sans escompte appelé "valeur nominale", n la durée rapportée à l'échelle de temps du taux d'escompte, t% le taux d'escompte et i l'intérêt implicite en cas de renonciation à l'escompte.

Nous avons maintenant les relations suivantes triviales :

   (116)

avec :

   (117)

étant l'intérêt simple sur la valeur actuelle, nous avons alors trivialement :

   (118)

Dès lors, il vient par substitution :

   (119)

Nous remarquons alors qu'il suffit de connaître seulement le taux d'escompte accordé t% (souvent donné en annuel...) ainsi que la durée de renonciation n pour déterminer le taux équivalent du crédit accordé.

Exemple:

Calculons le taux implicite i relatif à un escompte de 1% à 10 jours ou net à 30 jours :

   (120)

Ainsi, cette escompte si elle n'est pas prise en considération, peut-être vue comme un crédit à 18% par jour pendant 20 jours sur la somme avec escompte !

Cette métode de calcul est appelée "escompte commerciale" car elle les calculs se font sur la base de la valeur nominale et non de la valeur actuelle.

INTÉRÊT composÉ

Définition: "L'intérêt composé" est donnée par la relation:  

   (121)

et implique:

   (122)

Nous disons doncque le taux d'intérêt est "composé" lorsqu'à la fin de chaque période l'intérêt est ajouté au capital pour le calcul de la prochaine période.

Nous avons par ailleurs les relations triviales (cf. section d'Algèbre):

   (123)

Remarque: Les relations équivalentes dans MS Excel pour trouver  sont respectivement (fonctions en français) VC(), VA(), NPM(), Taux() l'abréviation NPM signifiant "nombre payements mensuels".

Si le taux n'est pas constant dans le temps alors l'intérêt composé s'écrit:

   (124)

ce qui s'écrit également:

  (125)

avec  et inversement:

   (126)

Dans un contexte de certitude de l'avenir (avenir certain), nous pouvons sans inconvénient majeur remplacer la séquence des  par leur moyenne géométrique:

   (127)

Cette relation est très importante car nous la retrouverons dans les calculs des prises de risques (Goodwil ou VAN).

Dans le cadre des intérêt cumulés (composés), deux notions importantes sont donc la "valeur actuelle" et la "valeur finale" acquise d'un capital.

En répondant à la question : "Quel capital obtenons-nous au bout d'un certain temps en plaçant aujourd'hui une somme X sur un carnet d'épargne?", nous faisons une recherche de valeur finale ou acquise d'un capital. Nous parlons alors "d'opération de capitalisation".

Par contre, si nous nous demandons : "Quel capital devons-nous placer aujourd'hui sur un carnet d'épargne pour obtenir au bout d'un certain temps un capital X ?", nous faisons une recherche de valeur actuelle d'un capital. Nous parlons alors "d'opération d'escompte" (c'est le propre du "calcul actuariel").

Définition: Nous appelons  le "facteur de capitalisation" et  le "facteur d'escompte" définis par les relations :

   (128)

ce qui nous amène par ailleurs à avoir .

Le relation de capitalisation composée peut alors se récrire :

   (129)

De même, le capital initial  peut être exprimé avec le facteur d'escompte :

   (130)

Cela rend alors très simple le calcul d'actualisation ou de capitalisation puisqu'il s'agit de multiplier le capital ou initial par le facteur d'escompte ou de capitalisation élevé à la puissance n.

Rappelons maintenant la relation que nous avons obtenue lors de notre présentation initiale des taux équivalents :

   (131)

Souvent afin de se simplifier le calcul, la personne qui cherche le taux équivalent va se rapporter à poser (normaliser) . Ce qui nous amène à écrire :

 et    (132)

vient alors une petite astuce du financier qui fait intervenir dans ses démarches de ventes le concept de "taux effectif" (déjà vu!) et "taux nominal". Ces taux permettent à l'émetteur de l'emprunt d'afficher un taux inférieur à ce qu'il est réellement (ce qui est interdit par la loi dans certains pays!). Donc le taux nominal est toujours inférieur au taux effectif.

Exemple:

Imaginons que les conditions d'un prêt soient les suivantes : intérêt annuel de  (taux nominal) payable par tranches mensuelle de . Un individu attentif se rend compte que payer 1% tous les mois dans un système d'intérêts composés ne donne pas un intérêt annuel de 12% mais de :

....   (133)

qui est le taux effectif t% ! Pas forcément gagnant donc...

Maintenant, si plusieurs placements sont effectués simultanément pour des durées et à des taux différents, nous pouvons être amené à calculer le taux moyen T de l'ensemble de ces placementx.

Si nous notons  le placement numéro t,  le facteur de capitalisation du placement numéro t,  la durée du placement numéro t, k le nombre de placements et finalement T le taux moyen de l'ensemble des placement nous pouvons à l'aide du calcul formel jusqu'au quatrième degré (voir chapitre de calcul algébrique) ou au-delà avec l'analyse numérique (prendre le solveur de MS Excel par exemple), résoudre l'équation :

   (134)

Si nous faisons un changement de variables  nous avons alors résoudre l'équation de  inconnues en x (tous les autres termes étant normalement connus dans l'énoncé du problème) :

   (135)

INTÉRÊT CONTINU

Rappelons que l'intérêt composé est défini en utilisant le taux effectif :

   (136)

Avec le taux nominal nous écrivons alors :

   (137)

Nous pouvons maintenant nous demander ce qu'il adviendrait du taux effectif t% si l'intérêt était versé non pas mensuellement, ni quotidiennement, mais en continu, d'une manière instantanée (ou quasi-instantanée). Nous écrivons alors (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

   (138)

Ainsi, en cas de capitalisation continue, la fonction de capitalisation s'écrit finalement :

   (139)

INTÉRÊT PROGRESSIF (RENTES)

Définition: Une "rente" ou "annuité" est une suite de paiements versés périodiquement à intervalles de temps régulières et durant une période fixée d'avance à intérêt composé (typique des deuxième ou troisième piliers en Suisse).

Il suffit alors d'appliquer la relation (voir plus haut la démonstration) à chaque terme de rente versé si nous souhaitons connaître la valeur actuelle de cette rente.

Par contre, si nous souhaitons obtenir la valeur finale d'une rente, nous appliquerons à chaque terme la relation (voir plus haut la démonstration).

Définition: Si la rente est payable en fin de période, elle est dite "rente postnumerando". Par contre, si elle est payable en début de période, elle est dite "rente praenumerando", ce qui est la cas du dernier exemple.

Remarques:

R1. Les rentes qui sont toujours payées sont appelées "rentes certaines" et lorsque la durée est fixée d'avance, nous parlons de "rentes temporaires".

R2. Les rentes versées sur la base de la durée de vie d'un individu sont appelées "rentes viagères".

Puisque les termes sont souvent supposés constants, nous avons pour habitude de bases les calculs sur la valeur d'une unité monétaire. Ainsi, nous notons (les notations adoptées sont celles que nous trouvons dans la littérature car bien que peu pratiques, elles sont originales et jolies à regarder...) :

-  la valeur actuelle d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando (à terme échu) pour une durée de n périodes

-  la valeur actuelle d'une rente de une unité monétaire payable praenumerando (d'avance) pour une durée den périodes

-  la valeur finale d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando pour une durée de n périodes

-  la valeur finale d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando pour une durée de n périodes

Les relations utilisées utilisent les propriétés des séries géométriques et de leur somme partielle (cf. chapitre de Suites Et Séries).

RENTES POSTNUMERANDO

A terme constant, pour calculer la valeur finale d'un rente à échéance/postnumerando, nous pouvons donc travailler uniquement sur le facteur d'escompte en multipliant au final par le montant de la rente.